Question

13．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF交AB于点E，连接EG．
（1）求证：BG=CF；
（2）若∠BAC=90°，请你判断BE，CF与EF三条线段的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）由BG∥AC得出∠DBG=∠DCF，从而根据ASA证得△BGD≌△CFD，即可证得结论．
（2）根据△BGD≌△CFD得出GD=FD，BG=CF，然后根据线段的垂直平分线的性质求得EG=EF，根据平行线的性质证得∠EBG=90°，最后根据勾股定理即可求得BE²+BG²=EG²，通过等量代换即可得到BE、CF、EF之间存在的等量关系．

解答 解：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BGD和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=∠DCF}\\{BD=CD}\\{∠BDG=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△BGD≌△CFD（ASA），
∴BG=CF．

（2）BE²+CF²=EF²；
理由：∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF，
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵∠A=90°，AC∥BG，
∴∠EBG=90°，
∴在△EBG中，BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．