Question

 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点C，对称轴与x轴交于点D，顶点为M，设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，直线PE绕点P旋转，与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：∵抛物线交y轴于点C，

∴C（0，4）。

∵，

∴顶点M坐标为（2，6）。

若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，可能有以下情形：

①OD=OP。

由图象可知，OP最小值为4，即OP≠OD，故此种情形不存在。

②OD=OE。

若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知△OPE为钝角三角形，而△OPD为锐角三角形，则不可能全等。

若点P与点M重合，如图2所示，此时△OPD≌OPE，四边形PDOE为矩形。

∴OE=DM=6，即点E的坐标为（0，6）。

综上所述，存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，点E的坐标为（0，2）或（0，6）。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，全等三角形的判定，分类思想和数形结合思想的应用。