Question

7．已知AB是半圆O的直径，点C在半圆O上．
（1）如图1，若AC=3，∠CAB=30°，求半圆O的半径；
（2）如图2，M是$\widehat{BC}$的中点，E是直径AB上一点，AM分别交CE，BC于点F，D．过点F作FG∥AB交边BC于点G，若△ACE与△CEB相似，请探究以点D为圆心，GB长为半径的⊙D与直线AC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB是半圆O的直径得到∠C=90°，根据三角函数的定义求出AB，即可求出半径；
（2）由（1）得∠ACB=90°，根据相似三角形的性质得到∠AEC=∠CEB=90°，根据余角的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4．等量代换得到∠3=∠5，于是得到CF=CD，过点F作FP∥GB交于AB于点P，则∠FPE=∠6，根据余角的性质得到∠ACE=∠6=∠FPE，根据全等三角形的性质得到CF=FP，推出四边形FPBG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到FP=GB，求得CD=GB，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
在Rt△ACB中，AB=$\frac{AC}{cos∠CAB}$，
=$\frac{3}{cos30°}$
=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$；

（2）⊙D与直线AC相切．
理由如下：
由（1）得∠ACB=90°，
∵∠AEC=∠ECB+∠6，
∴∠AEC＞∠ECB，∠AEC＞∠6，
∵△ACE与△CEB相似，
∴∠AEC=∠CEB=90°，
在Rt△ACD，Rt△AEF中分别有
∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∵M是$\widehat{BC}$的中点，
∴∠COM=∠BOM，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4．
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴CF=CD，
过点F作FP∥GB交于AB于点P，则∠FPE=∠6，
在Rt△AEC，Rt△ACB中分别有
∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE+∠6=90°，
∴∠ACE=∠6=∠FPE，
在△ACF与△APF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠ACF=∠APF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△APF，
∴CF=FP，
∵FP∥GB，FG∥AB，
∴四边形FPBG是平行四边形，
∴FP=GB，
∴CD=GB，
∵CD⊥AC，
∴点D到直线AC的距离为线段CD的长，
∴⊙D与直线AC相切．

点评 本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．