Question

8．方程2$\sqrt{1+x}$-$\sqrt{2+2\sqrt{1-{x}^{2}}}$=1的解是x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由二次根式有意义条件得出x的范围，利用完全平方根式化简原方程可得$\sqrt{1+x}$-$\sqrt{1-x}$=1，两次两边平方将无理方程化为整式方程，解之可得．

解答 解：∵$\left\{\begin{array}{l}{1+x≥0}\\{1-{x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
∴-1≤x≤1，
原方程可化为：2$\sqrt{1+x}$-$\sqrt{（\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}）^{2}}$=1，
2$\sqrt{1+x}$-（$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$）=1，
$\sqrt{1+x}$-$\sqrt{1-x}$=1，
两边平方可得：2-2$\sqrt{1-{x}^{2}}$=1，
∴$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴1-x²=$\frac{1}{4}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查无理方程的求解，通过变形将无理方程化为整式方程是解题的关键．