Question

13．如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，若AC=12，则四边形ABCD的面积最大值为（　　）

• A． 36
• B． $36\sqrt{2}$
• C． 72
• D． $72\sqrt{2}$

Answer 1

分析 解：过A点分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF，根据全等三角形的性质得到AE=AF，S_{四边形ABCD}=S_{四边形AECF}，当四边形AECF的面积最大时，四边形AECF是正方形，根据正方形的性质得到EF=AC，EF⊥AC，于是得到结论．

解答 解：过A点分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF，
∵∠ADF+∠ABC=180°，且∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ADF=∠ABE，在△ABE与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠AFD}\\{∠ABE=∠ADC}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，S_{四边形ABCD}=S_{四边形AECF}=$\frac{1}{2}$•AC•EF
当EF=AC时，四边形AECF的面积最大，此时四边形AECF是正方形，
∴EF=AC，EF⊥AC，
∴四边形ABCD的面积最大值=$\frac{1}{2}$AC²=$\frac{1}{2}$×12²=72，
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，正方形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．