Question

3．如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，若OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{13}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 过O作OD⊥BC，由垂径定理可知BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的长，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长．

解答 解：过O作OD⊥BC，
∵BC是⊙O的一条弦，且BC=6，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴OD垂直平分BC，又AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，
∵OA=1，
∴OD=AD-OA=3-1=2，
在Rt△OBD中，
OB=$\sqrt{B{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故选C．

点评 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．