(1)引入:如图1.直线AB为⊙O的弦.OC⊥OA.交AB于点P.且PC=BC.直线BC是否与⊙O相切.为什么?中⊙O的切线为直线l.在(1)的条件下.如图2.将切线l向下平移.设平移后的直线l与OB的延长线相交于点B′.与AB的延长线相交于点E.与OP的延长线相交于点C′．①找出图2中与C′P相等的线段.并说明理由,②如果OB′=9cm.B′C′=12cm.⊙O的半径为6cm.试求线段B′E� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（1）引入：如图1，直线AB为⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC=BC，直线BC是否与⊙O相切，为什么？
（2）引申：记（1）中⊙O的切线为直线l，在（1）的条件下，如图2，将切线l向下平移，设平移后的直线l与OB的延长线相交于点B′，与AB的延长线相交于点E，与OP的延长线相交于点C′．
①找出图2中与C′P相等的线段，并说明理由；
②如果OB′=9cm，B′C′=12cm，⊙O的半径为6cm，试求线段B′E的长．

考点：圆的综合题,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）要证直线BC与⊙O相切，只需证OB⊥BC，即证∠ABO+∠CBP=90°，易证∠A=∠ABO，∠APO=∠CPB=∠CBP，只需证∠A+∠APO=90°即可．
（2）①要证C′E=C′P，只需证∠EPC′=∠C′EP，即证∠APO=∠C′EP，由于∠A+∠APO=90°，∠B′BE+∠C′EP=90°，只需证∠A=∠B′BE，只需证∠A=∠ABO即可；
②设B′E=x，运用勾股定理可求出B′C′，从而可用x的代数式表示出C′E、C′P、PO，易证△BB′E∽△AOP，运用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解这个方程就可解决问题．

解答：

解：（1）直线BC与⊙O相切．
证明：∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°．
∵OA=OB，CB=CP，
∴∠A=∠ABO，∠CPB=∠CBP．
∵∠APO=∠CPB，
∴∠ABO+∠CBP=90°，即OB⊥BC．
又∵点B在⊙O上，
∴直线BC与⊙O相切．

（2）①C′E=C′P．
证明：∵OA=OB，∴∠A=∠OBA．
∵∠OBA=∠B′BE，
∴∠B′BE=∠A．

由题意知OB′⊥C′E，
∴∠BB′E=90°，
∴∠B′BE+∠B′EB=90°．
∵OA⊥OC′，
∴∠A+∠OPA=90°，
∴∠OPA=∠B′EB．
∵∠OPA=∠EPC′，
∴∠EPC′=∠C′EP，
∴C′E=C′P．
②设B′E=xcm，
在Rt△OB′C′中，
∵OB′=9，B′C′=12，
∴OC′=

B′C′2+OB′2

=15，
则C′P=C′E=12+x，OP=15-（12+x）=3-x，BB′=OB′-OB=9-6=3．
∵∠BB′E=∠AOP=90°，∠B′BE=∠A，
∴△BB′E∽△AOP，
∴

B′E

BB′

，即

3-x

，
解得：x=1，
∴线段B′E的长为1cm．

点评：本题主要考查了切线的判定、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程等知识，运用相似三角形的性质是解决第（2）②小题的关键．