Question

12．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）填空：
①当AB=AC时，四边形ADCF是矩形；
②当∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形．

Answer 1

分析 （1）首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），进而得出AF=BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案；
（2）①根据矩形的判定定理即可得到结论；②根据菱形的判定定理即可得到结论．

解答 证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD．  
在△AEF和△DEB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=DBE}\\{∠FEA=∠BED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS）．            
∴AF=BD．                   
∴AF=DC．
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形；

（2）①当AB=AC时，四边形ADCF是矩形；
②当∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形．
故答案为矩形，菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出△AEF≌△DEB是解题关键．