Question

14．已知如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，BD平分∠ABC，E、F分别是BD、AC的中点．求证：
（1）AE⊥BD
（2）EF=$\frac{1}{2}（BC-AD）$．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABD是等腰三角形即可解决问题；
（2）延长AE交BC于M，先证明△ADE≌△MBE得AD=BM．AE=EM，再利用三角形中位线即可证明；

解答 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∵BE=DE，
∴AE⊥BD．

（2）延长AE交BC于M，
∵AD∥BM，
∴∠ADB=∠DBM，
在△ADE和△MBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠EBM}\\{DE=EB}\\{∠AED=∠BEM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MBE，
∴AD=BM．AE=EM，
∵AF=FC，
∴EF∥CM，EF=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$（BC-BM）=$\frac{1}{2}$（BC-AD）

点评 本题考查三角形中位线的性质、全等三角形的判定和性质、解题的根据是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．