Question

【题目】如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．

（1）求证：CM=CN；

（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN．

（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案．

解：（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠ANM=∠CMN．

∴∠CMN=∠CNM．∴CM=CN．

（2）过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．

∴HC=DN，NH=DC．

∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，

∴．

∴MC=3ND=3HC．∴MH=2HC．

设DN=x，则HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN．

在Rt△CDN中，，

∴HN=．

在Rt△MNH中，，

∴．