Question

4．已知：当x＞0时，反比例函数${y_1}=\frac{4}{x}$和y₂=-$\frac{5}{x}$的图象在坐标系中的位置如图所示，直线y₃=-x+b与两图象分别交于点A、B．
（1）若A点的坐标为（2，a），求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，连接OA、OB，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）把A（2，a）代入${y_1}=\frac{4}{x}$即可求得a，然后代入直线y₃=-x+b即可求得b；
（2）根据直线的解析式求得直线与x轴的交点坐标，然后根据S_△OAB=S_△AOC+S_△BOC即可求得．

解答 解：（1）∵点A是反比例函数${y_1}=\frac{4}{x}$图象上的点，
∴a=$\frac{4}{2}$=2，
∴A（2，2），
∵点A在直线y₃=-x+b上，
∴2=-2+b，
∴b=4．
（2）设直线与x轴的交点为C，
由直线y₃=-x+4可知直线与x轴的交点坐标为C（4，0），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=-\frac{5}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=5}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴B（5，-1），
∴S_△OAB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×4×1=6．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式以及函数图象上点的坐标特征；数形结合思想的运用是本题的关键．