Question

17．如图1，直线y=k₁x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于点A，B，直线y=k₂x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点C，D，且k₁•k₂≠0，k₁≠k₂，顺次连接A，D，B，C，AD，BC分别交x轴于点F，H，交y轴于点E，G，连接FG，EH．
（1）四边形ADBC的形状是平行四边形；
（2）如图2，若点A的坐标为（2，4），四边形AEHC是正方形，则k₂=$\frac{1}{2}$；
（3）如图3，若四边形EFGH为正方形，点A的坐标为（2，6），求点C的坐标；
（4）判断：随着k₁、k₂取值的变化，四边形ADBC能否为正方形？若能，求点A的坐标；若不能，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接根据正比例函数与反比例函数的性质即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，根据四边形AEHC是正方形可知OA=OC，故可得出△OAM≌△OCN，AM=CN，由此可得出C点坐标，由此可得出C点坐标，利用待定系数法求出k₂的值即可；
（3）过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，根据四边形EFGH为正方形可得出AM=AE．CN=HN．由点A（2，6）得出AM=ME=2，OM=6，设CN=HN=m，则点C的坐标为（4+m，m）．根据反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过点C和点A（2，6）可得出m的值，进而可得出结论；
（4）根据反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象不能与坐标轴相交可知∠AOC＜90°，故四边形ADBC的对角线不能互相垂直，由此可得出结论．

解答 解：（1）∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴OA=OB，OC=OD，
∴四边形ADBC是平行四边形．
故答案为：平行四边形；

（2）如图1，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，
∵四边形AEHC是正方形，
∴DA⊥AC，
∴四边形ADBC是矩形，
∴OA=OC．
∴AM=CN，
∴C（4，2），
∴2=4k₂，解得k₂=$\frac{1}{2}$．
故答案为；$\frac{1}{2}$；

（3）如图2所示，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠FEO=45°，EO=HO，
∴∠AEM=45°．
∵∠AME=90°，
∴∠EAM=∠AEM=45°．
∴AM=EM．
同理，CN=HN．
∵点A（2，6），
∴AM=ME=2，OM=6，
∴OE=OH=4．
设CN=HN=m，则点C的坐标为（4+m，m）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过点C和点A（2，6），
∴m•（4+m）=12，解得m₁=2，m₂=-6（舍去）；
当m=2时，m+4=6，
∴点C的坐标为（6，2）；

（4）不能．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象不能与坐标轴相交，
∴∠AOC＜90°，
∴四边形ADBC的对角线不能互相垂直，
∴四边形ADBC不能是正方形．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数与正比例函数的性质、正方形的性质等知识，难度适中．