Question

9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两条边分别在坐标轴上，OA=6，OC=8．
（1）求AC所在的直线MN的解析式；
（2）把矩形沿直线DE对折，使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求点D的坐标；
（3）在直线MN上是否存在点P，使以点P，A，B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质确定点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线MN的解析式；
（2）连结AD，根据折叠的性质得到AD=CD，设OD=x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值即可；
（3）分PA=PB、PA=BA、PB=BA三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可．

解答 解：（1）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．
∵OA=6，OC=8，
∴A（0，6），C（8，0）．
∵点A、C都在直线MN上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线MN的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（2）连结AD，由折叠可知AD=CD，
设OD=x，则AD=CD=8-x，
∵在Rt△AOD中，AD²-OD²=AO²，
∴（8-x）²-x²=6²，
解得：x=$\frac{7}{4}$，
∴点D的坐标为（$\frac{7}{4}$，0）；
（3）存在，
∵A（0，6），C（8，0），
∴B（8，6）．
∵点P在直线MN上，
∴设P（a，-$\frac{3}{4}$a+6），
①当PA=PB时，点P是线段AB的中垂线与直线MN的交点，
则P₁（4，3）；
②当PA=BA时，a²+（6+$\frac{3}{4}$a-6）²=8²，
整理得：$\frac{25}{16}$a²=64，
解得，a=±$\frac{32}{5}$，
P₂（$\frac{32}{5}$，$\frac{6}{5}$），P₃（-$\frac{32}{5}$，$\frac{54}{5}$）；
③当PB=BA时，（a-8）²+（6+$\frac{3}{4}$a-6）²=8²，
整理得，$\frac{25}{16}$a²-16a=0，
则a（$\frac{25}{16}$a-16）=0，
∵a≠0，
∴a=$\frac{256}{25}$，
∴P₄（$\frac{256}{25}$，-$\frac{42}{25}$）．
综上所述，符合条件的点P有：
P₁（4，3），P₂（$\frac{32}{5}$，$\frac{6}{5}$），P₃（-$\frac{32}{5}$，$\frac{54}{5}$），P₄（$\frac{256}{25}$，-$\frac{42}{25}$）．

点评 本题考查的是矩形的性质、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质，灵活运用待定系数法求出函数解析式是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的运用．