Question

如图，

1

AD

=

1

AB

+

1

AC

，∠BAC=120°，求证：AD是∠BAC的平分线．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长CA到点E，使AE=AB，构造等边三角形，结合条件可得到

BE

AD

=

AE

AC

，证明△ADC∽△AEB，从而得到∠CAD=60°，可证得结论．

解答：证明：
如图，延长CA至点E，使得AE=AB，连接BE，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE，∠C=60°，
∴CE=AC+AE=AC+AB，
∵

1

AD

=

1

AB

+

1

AC

=

AB+AC

AB•AC

=

AE

BE•AC

，
∴

BE

AD

=

AE

AC

，
∴△ADC∽△AEB，
∴∠CAD=∠E=60°，
∴∠BAD=120°-60°=60°，
∴AD是∠BAC的角平分线．

点评：本题主要考查等边三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，构造等边三角形证明三角形相似从而得到∠CAD=60°是解题的关键．