Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E分别为AB、BC的中点，AE与CD相交于点H，CF⊥AE交AB于点F，垂足为G，连结EF、FH和DG．
①求证：△ACH≌△CBF；
②求证：AE=EF+FC；
③若AC=6，求线段DG的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠CAH=∠BCF，即可证明△ACH≌△CBF；
（2）易证∠HAD=∠FCD，即可证明△ADH≌△CDF，可得AH=CF，再可证明△CHE≌△BFE，可得HE=EF，即可解题；
（3）连接DE，过D作DM⊥AE于M，即可求得GE的长，再根据G，E分别是AB，BC中点，即可求得DE、EM、DM的长，即可解题．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴CD⊥AB．∠ACD=∠BCD=45°，
∵CF⊥AE，
∴∠CAH+∠AEC=∠BCF+∠AEC，
∴∠CAH=∠BCF，
在△ACH和△CBF中

∠ACD=∠BCD ∠CAH=∠BCF AC=BC

∴△ACH≌△CBF（AAS）；
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴CD⊥AB．∠ACD=∠BCD=45°，
∴CD=AD，
∵CD⊥AB，CF⊥AE，
∴∠ADH=∠CGH，
∵∠AHD=∠CHG，
∴∠HAD=∠FCD，
在△ADH和△CDF中，

∠HAD=∠FCD ∠ADH=∠CGH AD=CD

，
∴△ADH≌△CDF（AAS），
∴AH=CF，
∵△ACH≌△CBF，
∴CH=BF，
在△CHE和△BFE中，

CH=BF ∠HCE=∠B=45° CE=BE

，
∴△CHE≌△BFE（SAS），
∴HE=EF，
∴AH+HE=CF+EF，
即AE=EF+FC．
（3）连接DE，过D作DM⊥AE于M，

∴AE=

AC2+CE2

=3

5

，
∴CG=

AC•CE

AE

=

6 5

5

，
GE=

3 5

5

，
∵G，E分别是AB，BC中点，
∴DE=3，DE∥AC，
∴∠DEM=∠CAE，
∴EM=

6 5

5

，DM=

3 5

5

，
∴MG=MD=

3 5

5

，
∴DG=

2

DM=

3 10

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△ACH≌△CBF是解题的关键．