Question

17．设x₁、x₂是方程x²-x-2015=0的两实数根，则x₁³+2016x₂-2015=2016．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程的解的定义得到x₁²=x₁+2015，则x₁³=x₁²+2015x₁=2016x₁+2015，所以x₁³+2016x₂-2015可化简为2016（x₁+x₂），然后根据根与系数的关系得到x₁+x₂=1，于是利用整体代入的方法可计算出x₁³+2016x₂-2015的值．

解答 解：∵x₁是方程x²-x-2015=0的实数根，
∴x₁²-x₁-2015=0，
∴x₁²=x₁+2015，
x₁³=x₁²+2015x₁=x₁+2015+2015x₁=2016x₁+2015，
∴x₁³+2016x₂-2015=2016x₁+2015+2016x₂-2015=2016（x₁+x₂），
∵x₁、x₂是方程x²-x-2015=0的两实数根，
∴x₁+x₂=1，
∴x₁³+2016x₂-2015=2016×1=2016．
故答案为2016．

点评 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解．