Question

13．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，
（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；
（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，可知AM=CM，CN=BN，可知△CMN的周长即为AB的长．
（2）根据垂直平分线的性质可知，∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形的内角和定理，整体求出∠1+∠4的值，进而可得∠ACB的度数．

解答 解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，CN=BN，
∵△CMN的周长为18cm，即CM+CN+MN=18，
∴AM+BN+MN=AB=18cm．
∴AB=18cm．

（2）∵DM垂直平分AC，
∴∠1=∠2，
∵EN垂直平分BC，
∴∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，
则2（∠1+∠4）=180°-50°=130°，
∠1+∠4═65°，
∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°．

点评 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可得到等腰三角形△AMC、△CNB，再利用等腰三角形的两底角相等，得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形的内角和等于180°求出∠1+∠4，便可解答．