Question

16．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且a⁴+b²c²=b⁴+a²c²，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．

解答 解：∵a⁴+b²c²=b⁴+a²c²，
∴a⁴-b⁴=a²c²-b²c²，
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），
移项得：c²（a²-b²）-（a²+b²）（a²-b²）=0，
因式分解得：（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，
则当a²-b²=0时，a=b；当a²-b²≠0时，a²+b²=c²；
所以△ABC是直角三角形或等腰三角形．

点评 此题考查因式分解和勾股定理逆定理的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是关键．