Question

已知一元二次方程x²-（2a+1）+a²+a=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是原方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求该三角形的周长．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,三角形三边关系,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）证明判别式△＞0，即可解决问题．
（2）首先求出方程的两个实数根，然后根据等腰三角形的定义，结合分类讨论的数学思想逐一解析，即可解决问题．

解答：解：（1）证明：∵△=[-（2a+1）]²-4（a²+a）
=4a²+4a+1-4a²-4a
=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解方程x²-（2a+1）+a²+a=0，
得：两个根分别为a、a+1；
∵a≠a+1，
∴a与a+1只能是一个为腰，另一个为底；
若a为腰，则a+1为底，此时a=5，
∴该三角形的周长=16；
若a+1为腰，则a为底，此时a+1=5，a=4；
∴该三角形的周长=14．

点评：该题主要考查了根的判别式、等腰三角形的定义及其应用问题；解题的关键是深入把握题意、大胆推理猜测、科学解答论证．