Question

5．已知关于x的一元二次方程ax²-（a+2）x+2=0．
（1）不解方程，判别方程的根的情况；
（2）方程有两个不相等的正整数根时，求整数a的值．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程的定义可得出a≠0，再利用根的判别式△=b²-4ac，套入数据即可得出△=（a-2）²≥0，由此即可得出结论；
（2）结合（1）的结论可得出a≠2且a≠0，设方程的两个根分别为x₁、x₂，利用根与系数的关系可得出x₁•x₂=$\frac{2}{a}$，再根据x₁、x₂均为正整数，a为整数，即可得出结论．

解答 解：（1）∵方程ax²-（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0．
∵△=（a+2）²-4a×2=（a-2）²≥0，
∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．
（2）∵方程有两个不相等的正整数根，
∴a≠2且a≠0．
设方程的两个根分别为x₁、x₂，
∴x₁•x₂=$\frac{2}{a}$，
∵x₁、x₂均为正整数，
∴$\frac{2}{a}$为正整数，
∵a为整数，a≠2且a≠0，
∴a=1．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找出△=（a-2）²≥0；（2）找出x₁•x₂=$\frac{2}{a}$为正整数．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由方程的两根均为整数确定a的值是难点．