Question

10．已知△ABC中，∠BAC=90°，四边形ABDE、BCFG是两个正方形，AB的延长线交DG于P，求证：AC=2BP．

Answer 1

分析 过G作AC的平行线与BP的延长线交与M，利用已知条件证明△BGM≌△ABC，得到AC=BM，GM=AB，再证明△PMG≌△BDP，得到BP=BM，所以BP=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$AC．

解答 解：如图，过G做AC的平行线与BP的延长线交与M，

∵∠BAC=90°，AC∥MG，
∴∠M+∠BAC=180°，
∴∠M=90°，
∵∠ABC+∠BCA=90°，∠ABC+∠PBG=90°，
∴∠BCA=∠PBG，
∵四边形BCFG是两个正方形，
∴BC=BG，
在△BGM和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠BAC}\\{∠MBG=∠ACB}\\{BC=BG}\end{array}\right.$
∴△BGM≌△ABC，
∴AC=BM，GM=AB，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB=BD，
∴GM=AD，
在△PMG和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠DBP=9{0}^{°}}\\{∠GMP=∠DPB}\\{MG=BD}\end{array}\right.$
∴△PMG≌△BDP，
∴BP=BM，
∴BP=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=2BP．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、正方形的性质，解决本题的关键是证明三角形全等．