题目内容
13．
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两点P，Q分别从点A和点C同时出发，沿边AB，CB向终点B移动．其中点P，Q的速度分别为2cm/s，1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．设P，Q两点移动时间为x s．（1）用含x的代数式表示BQ、BP的长度，并求x的取值范围．
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式？
（3）是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的$\frac{2}{3}$？如果存在，求出x的值；不存在请说明理由．
分析 （1）首先运用勾股定理求出AB边的长度，然后根据路程=速度×时间，分别表示出BQ、PB的长度；
（2）利用y=S四边形APQC=S△ABC-SPBQ求解即可；
（3）根据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积，列出方程，根据解的情况即可判断．
解答 解：（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8．
∴BQ=6-x，PB=8-2x；
（2）由题意，得
y=S四边形APQC=S△ABC-SPBQ
=$\frac{1}{2}$AB•BC-$\frac{1}{2}$PB•QB
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$（6-x）（8-2x）
=24-（x2-10x+24）
=-x2+10x；
（3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的$\frac{2}{3}$，
则-x2+10x=$\frac{1}{2}$×6×8×$\frac{2}{3}$，
解得x1=2，x2=8（舍去）．
假设成立，所以当x=8时，四边形APQC的面积是△ABC面积的$\frac{2}{3}$．
点评 本题借助动点问题考查了勾股定理，路程与速度、时间的关系，等腰三角形的性质以及不规则图形的面积计算，综合性较强．
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