Question

4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）作线段AD的垂直平分线EF交AB边于点E，交AC边于点F；
（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若BD=3，CD=2，AF=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据中垂线的尺规作图可得；
（2）先利用中垂线的性质及全等三角形的性质证四边形AEDF是菱形，再证△BED∽△DFC得$\frac{BE}{DF}=\frac{BD}{CD}$，即可得出答案．

解答 解：（1）如图，直线EF即为所求；


（2）由（1）知EF垂直平分AD，
∴EA=ED、FA=FD，∠AOE=∠AOF=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AEO和△AFO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FAO}\\{AO=AO}\\{∠AOE=∠AOF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴AE=AF，
则AE=DE=AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形，
∴DE=DF=AF=4，DE∥AC、DF∥AB，
∴∠FDC=∠B，∠DFC=∠BAC=∠BED，
∴△BED∽△DFC，
∴$\frac{BE}{DF}=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{BE}{4}$=$\frac{3}{2}$，
则BE=6．

点评 本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．