Question

如图，已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D、E、F分别在AB、AC、BC边上，∠EDF=45°．
（1）求证：△ADE∽△BFD；
（2）若D为AB中点，求证：∠AED=∠DEF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，可得∠A=∠B=45°，又由∠EDF=45°，易证得∠AED=∠BDF，即可得△ADE∽△BFD；
（2）由△ADE∽△BFD，可得DE：DF=AE：BD，又由D为AB中点，易证得△DEF∽△AED，即可证得∠AED=∠DEF

解答：证明：（1）∵Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，
∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠BDF=135°，
∴∠AED=∠BDF，
∴△ADE∽△BFD；

（2）∵△ADE∽△BFD，
∴DE：DF=AE：BD，
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∴DE：DF=AE：AD，
即DE：AE=DF：AD，
∵∠A=∠EDF=45°，
∴△DEF∽△AED，
∴∠AED=∠DEF．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．