Question

如图①，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆与角两边分别交于A，B和C，D四点．

（1）求证：AB=CD；
（2）若角的顶点P在圆上，如图②，其他条件不变，结论成立吗？
（3）若角的顶点P在圆内，如图③，其他条件不变，结论成立吗？

Answer 1

考点：垂径定理,角平分线的性质

专题：计算题

分析：（1）过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据角平分线性质得出ON=OM，根据勾股定理求出AM=CN，根据垂径定理得出AB=2AM，CD=2CN，即可得出答案；
（2）

解答：解：（1）相等．
如图：
作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，连接OA，OC，OB，OD．
AG=BG，CH=DH，
∵∠EPO=∠FPO，
∴OG=OH．
在Rt△OBG和Rt△ODH中，
由HL定理得：△OBG≌△ODH，
∴GB=HD，
∴AB=CD；
（2）点P在圆上，结论成立：
顶点P在圆上，此时点P，A，C重合于点A，作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，
∴AG=GB，AH=HD，
∵∠EAO=∠DAO，
∴OG=OH．
在Rt△OAG和Rt△OAH中，由HL定理得：△OAG≌△OAH，
∴AG=AH，
∴AB=AD．
即点P在圆上，结论成立．
（3），顶点P在圆内，作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，则AG=GB，CH=HD，
∵∠EPO=∠FPO，
∴OG=OH，
∴GB=HD，
∴AB=CD．
即点P在圆内，结论成立．

点评：本题考查的是垂径定理，先根据角平分线的性质定理，得到两条弦心距相等，然后再说明两条弦相等．