Question

18．已知△ABC是边长为2的等边三角形，动点P在直线BC上运动（不与点B、C重合）
（1）如图1，点P在线段BC上，作∠APQ=60°，PQ交AC于点Q，
①求证：△ABP∽△PCQ；
②若△APQ也与△PCQ相似，求此时AQ的长；
（2）如图2，点P在BC的延长线上，作∠APQ=60°，PQ的反向延长线相交于点D，是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出PC的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=60°，证明∠BAP=∠QPC，根据相似三角形的判定定理证明结论；②根据相似三角形的性质解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理证明△CAP∽△PAD，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）①∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BAP+∠APB=120°，
∠APB+∠QPC=120°，
∴∠BAP=∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ；
②∵△APQ也与△PCQ相似，∠APQ=∠C=60°，
∴当∠CPQ=∠PAC时，∠AQP=∠PQC=90°，
∴∠PAQ=30°，
∴AP⊥BC，
∴AP=$\sqrt{3}$，
∴AQ=$\frac{3}{2}$；
当∠CPQ=∠AQP时，
∵∠CPQ+∠PQC=120°，
而∠AQP+∠CQP=180°，
∴不合题意，
∴AQ=$\frac{3}{2}$；

（2）存在，
∵∠ACB=60°，
∴∠CAP+∠APC=60°，
∵∠APQ=60°，
∴∠CAP+∠D=60°，
∴∠APC=∠D，
∴△CAP∽△PAD，
∴$\frac{AC}{AP}$=$\frac{PC}{PD}$，又AP=PD，
∴PC=AC=2．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．