Question

【题目】如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM．

（1）求证：PM＝PN；

（2）当P，A重合时，求MN的值；

（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）4≤S≤5

【解析】

（1）由平行线的性质得到∠PMN＝∠MNC，由折叠的性质得到∠MNC＝∠PNM，从而得到∠PMN=∠PNM即可解决问题；

（2）点P与点A重合时，设BN=x，表示出AN=NC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN；

（3）当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可．

解（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴PM∥CN，

∴∠PMN＝∠MNC，

由折叠可得∠MNC＝∠PNM，

∴∠PMN＝∠PNM，

∴PM＝PN；

（2）解：点P与点A重合时，如图2中，

设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，

在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，

即42+x2＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，

∴CQ＝AC＝2，

∴QN＝＝＝，

∴MN＝2QN＝2；

（3）解：当MN过点D时，如图3所示，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，

当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝×5×4＝5，

∴4≤S≤5．