Question

【题目】综合与实践

背景阅读：旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转作为图形变换的一种，具备图形旋转前后对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形是全等图形等性质．所以充分运用这些性质是在解决有关旋转问题的关健．

实践操作：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

问题解决：（1）①当α＝0°时，＝　 　；②当α＝180°时，＝　 　．

（2）试判断：当0°≤a＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

问题再探：（3）当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求得线段BD的长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）无变化，证明见解析；（3）6或．

【解析】

问题解决：（1）①根据三角形中位线定理可得：BD=CDBC=6，AE=CEAC=3，即可求出的值；

②先求出BD，AE的长，即可求出的值；

（2）证明△ECA∽△DCB，可得；

问题再探：（3）分两种情况讨论，由矩形的判定和性质以及相似三角形的性质可求BD的长．

问题解决：

（1）①当α=0°时．

∵BC=2AB=12，

∴AB=6，

∴AC6，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴BD=CDBC=6，AE=CEAC=3，DEAB，

∴．

故答案为：；

②如图1．

，

当α=180°时．

∵将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，

∴CD=6，CE=3，

∴AE=AC+CE=9，BD=BC+CD=18，

∴．

故答案为：．

（2）如图2，

，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化．证明如下：

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴．

问题再探：

（3）分两种情况讨论：

①如图3．

．

∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，

∴AD12．

∵AD=BC，AB=DC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵∠B=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴BD=AC=6

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P．

∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，

∴AD12．

在Rt△CDE中，DE==3，

∴AE=AD﹣DE=12﹣3=9，

由（2）可得：，

∴BD．

综上所述：BD=6或．

故答案为：6或．