Question

【题目】如图1，是的外接，是直径，是外一点且满足，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，，求直径的长；

（3）如图2，当时，与交于点，试写出、、之间的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）5；（3）,证明见详解

【解析】

(1)连接OC，由OB=OC知∠OCB=∠B，结合∠DCA=∠B得∠DCA=∠OCB，再由AB是直径知∠ACB=90°，据此可得∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，从而得证；

(2)先利用勾股定理求得AC=2，再证△ADC∽△ACB得，据此求解可得；

(3)连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF..由AB是直径、∠DAB=45°知∠AEB=90°，据此得△AEB是等腰直角三角形，AE=BE，再证△ECB≌△EFA得EF=EC，据此可知△FEC是等腰直角三角形，从而得出，从而得证．

解：（1）证明：连接OC.

∵OB=OC

∴∠OCB=∠B

∵∠DCA=∠B

∴∠DCA=∠OCB

∵AB是直径

∴∠ACB=90

∴∠DCA+∠ACO =∠OCB+∠ACO=90,

即∠DCO=90,

∴CD是⊙O的切线

（2）∵AD⊥CD，CD＝2，AD＝4.

∴，

由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90

∴△ADC∽△ACB

∴

∴

∴AB=5．

（3），

如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF.

∵AB是直径，∠DAB=45

∴∠AEB=90

∴△AEB是等腰Rt△

∴AE=BE

又∵∠EAC=∠EBC，

∴△ECB≌△EFA

∴EF=EC，∵∠ACE=∠ABE=45

∴△FEC是等腰Rt△

∴

∴.