Question

【题目】如图1，已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）M为轴上方抛物线上的一点，与抛物线的对称轴交于点，若，求点的坐标；

（3）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为，，是新抛物线在第一象限内互不重合的两点，轴，轴，垂足分别为，，若始终存在这样的点，，满足，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点坐标为；（3）

【解析】

（1）设，将点A的坐标代入求解即可；

（2）令求出点B的坐标，设抛物线对称轴直线与轴交点为，作原点关于直线的对称点，连接，根据已知条件可求出点C的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立可求出点M的坐标；

（3）设，根据全等三角形的性质得出，设新抛物线解析式为，将点、的坐标代入抛物线的解析式得到两个等式，进而可得出m与n的关系，可先求出n的取值范围，最后根据h与n的函数关系式进行求解．

解：（1）抛物线的顶点为，

，

把代入抛物线解析式得，，

解得，，

；

（2）令得，，

或，

，

，

设抛物线对称轴直线与轴交点为，作原点关于直线的对称点，连接，则，

，

，

，

，

，

设直线的解析式为，

则，，

解得，，

直线解析式为，

与抛物线联立得，

，即，

∴，

，

故点坐标为；

（3）设，

，

，，

，

设新抛物线解析式为，

把点、的坐标代入抛物线的解析式得：，，

即，，

建立与或与的函数关系式，从而求的取值范围，

先找到与的关系式，，

，，

，

，，

，，，

且，

把代入得，

且，

，

故的取值范围．