Question

【题目】[问题发现]如图1，半圆的直径是半圆上的一个动点，则面积的最大值是_．

[问题解决]如图2所示的是某街心花园的一角．在扇形中，米，在围墙和上分别有两个入口和且米，是的中点，出口在上．现准备沿从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形内种花，在剩余区域种草．

①出口设在距直线多远处可以使四边形的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）

②已知铺设小路所用的普通石材每米的造价是元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是元问：在上是否存在点，使铺设小路和的总造价最低？若存在，请求出最低总造价和出口距直线的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】[问题发现]25；[问题解决]①出口设在距直线米处可以使四边形的面积最大，最大为平方米；②总造价的最小值为元，出口距直线的距离为米

【解析】

[问题发现]的底边一定，面积最大也就是P点到AB的距离最大，故当时底边上的高最大，再计算此时面积即可．

[问题解决]①根据四边形CODE面积=，求出最大时即可，然后作，证明，利用相似三角形的性质求出即可；

②先利用相似三角形将费用问题转化为CE+2DE=CE+QE，求CE+QE的最小值问题，然后利用相似三角形性质和勾股定理求解即可．

解：[问题发现]：

如图1，点运动至半圆的中点时，底边上的高最大，即

此时的面积最大，最大值为；

[问题解决]如图2，连接作，垂足为延长交于点，

则此时的面积最大．

为的中点，

，

在中，，

，

四边形面积的最大值为，

作垂足为，

．

又，

，

，

出口设在距直线米处可以使四边形的面积最大，最大为平方米；

铺设小路和的总造价为

如图3，连接延长到点使，连接

在与中，，且，

故

，问题转化为求的最小值，

连接交于点，

此时取得最小值为．

在中，，

，

故总造价的最小值为元，

作垂足为，连接．

设则．

在中，，

解得，（舍去），

总造价的最小值为元，出口距直线的距离为米．