Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过B点作BC的垂线与过A点作AB的垂线交于点E，延长BA于点D，使得DE⊥CD，连接CE交BD于F，已知AD=3，则EF=

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰直角三角形,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：先证明△ACB、△EAB与△CDE都是等腰直角三角形，再设AC=BC=x，则AB=AE=

2

x，BE=2x，CE=

5

x，DE=

5

2

x，在Rt△ADE中利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x的值，再由△BEF∽△ACF，得出EF=2CF，进而求出EF的值．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°．
∵BE⊥BC，
∴∠EBC=90°，∠ABE=90°-∠ABC=45°，
又∵EA⊥AB，
∴△EAB是等腰直角三角形，AB=AE，∠ABE=45°．
∵∠CDE+∠EBC=90°+90°=180°，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴∠DCE=∠DBE=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形．
设AC=BC=x，则AB=AE=

2

x，BE=

2

AB=2x，CE=

BE2+BC2

=

5

x，DE=

CE

2

=

5

2

x．
在Rt△ADE中，∵∠DAE=90°，
∴DE²=AD²+AE²，即（

5

2

x）²=3²+（

2

x）²，
化简整理，得

1

2

x²=9，解得x=±3

2

（负值舍去），
∴CE=

5

x=3

10

．
∵BE⊥BC，AC⊥BC，
∴BE∥AC，
∴△BEF∽△ACF，
∴

EF

CF

=

BE

AC

=

2x

x

=2，
∴EF=2CF，
∴EF=

2

3

CE=2

10

．
故答案为：2

10

．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，四点共圆，有一定难度．设出适当的未知数x，在Rt△ADE中利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．