Question

如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED是何种特殊四边形，并加以证明．
（2）若∠OAD=30°，F、G分别在OD、DE上，OF=DG，连结CF、CG、FG，判断△CFG形状，并加以证明．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定,平行四边形的判定

专题：

分析：（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得OC=OD，然后根据菱形的定义判定即可；
（2）判断出△OCD和△CDE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠COD=∠CDG=60°，再利用“边角边”证明△COF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=CG全等三角形对应角相等可得∠DCG=∠OCF，再求出∠FCG=60°，然后判断出△CFG是等边三角形．

解答：解：（1）菱形．
理由：∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形DOCE为平行四边形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形DOCE为菱形；

（2）在矩形ABCD中，△OCD和△CDE是等边三角形，
∴∠COD=∠CDG=60°，
在△COF和△CDG，

OF=DG ∠COD=∠CDG=60° CO=CD

，
∴△COF≌△CDG（SAS），
∴CF=CG，∠DCG=∠OCF，
∴∠FCG=∠DCO=60°，
∴△CFG为等边三角形．

点评：本题考查了矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．