如图.矩形OABC的边OA在x轴上.边OC在y轴上.点B的坐标为.沿直线OD折叠矩形.使点A正好落在BC上的E处.抛物线y=ax2+bx+c经过点O.A.E三点．(1)求此抛物线的解析式和AD的长,(2)点P是此抛物线的对称轴上一动点．①求当△PAD的周长最小时.点P的坐标,②若点Q是抛物线上的点.以点P.Q.O.D为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能.请直接写出此时点P.Q的坐标,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，抛物线y=ax²+bx+c经过点O，A，E三点．
（1）求此抛物线的解析式和AD的长；
（2）点P是此抛物线的对称轴上一动点．
①求当△PAD的周长最小时，点P的坐标；
②若点Q是抛物线上的点，以点P、Q、O、D为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出此时点P、Q的坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）由矩形的性质，得到A（10，0），C（0，8），再由折叠可知：AD=ED，OA=OE=10，最后用勾股定理计算即可；
（2）由抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点是O（0，0）、A（10，0）用交点式设解析式，用待定系数法即可；
（3）以点P、Q、O、D为顶点的四边形能成为平行四边形，分两种情况讨论：①若OD是平行四边形的对角线，判断出点P一定是抛物线的顶点
②OD是平行四边形的一条边．利用平行四边形的对边平行且相等，即可．

解答解：（1）点B的坐标为（10，8），
由矩形的性质，得A（10，0）．
设AD=x，则DE=x，BD=8-x．
由折叠可知，OE=OA=10，∠OED=90°，
∴CE=6，BE=4，
∴E（6，8）．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点O、A、E三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{100a+10b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\end{array}\right.$
解得   $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x．
∵四边形OABC是矩形，∠OED=90°，
∴∠CE0=∠BDE，
∴sin∠CE0=sin∠BDE，
即   $\frac{CO}{OE}=\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{8}{10}=\frac{4}{x}$，
得   x=5．
∴AD=5．
（2）∵AD=5，
∴D（10，5），△PAD的周长=AP+PD+AD=AP+PD+5．
依题意，要使AP+PD最小，则直线OD与抛物线的对称轴的交点就是P点．
设直线OD的解析式为y=kx，则有5=10k，
解得   k=$\frac{1}{2}$．
∴直线OD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x．
由抛物线的对称性可知，此抛物线的对称轴为x=5．
∴点P的纵坐标为y=$\frac{1}{2}$x=y=$\frac{1}{2}$×5=y=$\frac{5}{2}$．
即P（5，$\frac{5}{2}$）．
（3）能成为平行四边形．此时点P、Q的坐标有三对，即
能成为平行四边形．
①若OD是平行四边形的对角线时：
由于抛物线的对称轴经过OD的中点，
∴当平行四边形OPDQ的顶点P在抛物线的对称轴上时，点Q也在抛物线的对称轴上，又点Q在抛物线上，故点P一定是抛物线的顶点．
∴Q （5，$\frac{25}{3}$）
又因为平行四边形的对角线互相平分，
所以，线段PQ必被OD的中点（5，$\frac{5}{2}$）平分
∴P（5，-$\frac{10}{3}$），
此时P（5，-$\frac{10}{3}$），Q （5，$\frac{25}{3}$）
②若OD是平行四边形的一条边时：
在平行四边形ODPQ中，OD∥PQ且OD=PQ
设P（5，m），则Q（5-10，m-5）
将Q（5-10，m-5）代入抛物线解析式中，
解得m=-20
∴P（5，-20），Q（-5，-25）
在平行四边形ODQP中，OD∥PQ且OD=PQ
设P（5，m），则Q（10+5，5+m）
将（10+5，5+m）代入抛物线解析式中，
解得m=-30
∴P（5，-30），Q（15，-25），
综上：符合条件的点P、Q有3对，即
P₁（5，-20），Q₁（-5，-25）；P₂（5，-30），Q₂（15，-25）；
P₃（5，-$\frac{10}{3}$），Q₃（5，$\frac{25}{3}$）．