Question

3．已知抛物线y=x²+bx+c，点A_n（a_n，-4）为抛物线的顶点，且a₁=1，a_n+1=a_n+1（n＞0）．以A₁为顶点的抛物线记为C₁，以A₂为顶点的抛物线记为C₂，…以A_n为顶点的抛物线记为C_n．
（1）求C₁抛物线的解析式；
（2）C₁与x轴交于点B、C两点（B在C点的右侧），抛物线上是否存在一点P，使△POB与△POD全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）C₂₀₁₅与x轴交于B、C两点，直线x=2014与C₂₀₁₅、直线A₂₀₁₅B、x轴分别交于D、E、F点，判断以线段A₂₀₁₅B为直径的圆与直线x=2014的位置关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据顶点坐标，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据三边对应相等的两个三角形全等，可得PB=PD，根据方程，可得答案；
（3）根据a_n+1=a_n+1，可得A₂₀₁₅坐标，根据图象平移规律，可得B点，根据线段中点公式，可得A₂₀₁₅B的中点，根据到与直线的距离，可得圆心到直线的距离，根据勾股定理，可得A₂₀₁₅B的长，根据圆心到直线的距离小于半径，可得答案．

解答 解：（1）a₁=1，故C₁的顶点为（1，-4），
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}=1}\\{\frac{4c-{b}^{2}}{4}=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以y=x²-2x-3；
（2）设P（x，（x-1）²-4），当x=0时，y=-3，即D（0，-3），
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x=3或x=-1，即B（3，0），
OB=OD，PO=PO，当PB=PD时，△POB≌△POD，
（x-3）²+[（x-1）²-4]²=x²+[（x-1）²-4+3]²，
化简，得x²-x-3=0，
解得x₁=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，
y₁=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，y₂=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，
P₁（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$），P₂（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$）；
（3）A₂₀₁₅（2015，-4），B（2017，0），A₂₀₁₅B的中点O（2016，-2）
O到直线x=2014距离为2016-2014=2，
而圆的半径为$\frac{{A}_{2015}B}{2}$=$\frac{\sqrt{（2017-2015）^{2}+（0+4）^{2}}}{2}$=$\sqrt{5}$
因为2＜$\sqrt{5}$，
所以x=2014与圆相交．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用顶点坐标公式得出方程组是解题关键；（2）利用三角形全等的条件得出PB=PD是解题关键；（3）利用图象平移规律得出A₂₀₁₅、B点坐标是解题关键，又利用了直线与圆的位置关系．