题目内容
5．如图①，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点M，N分别从点A，B同时出发，沿边AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．设点M的运动时间为t （s）．（1）在图①中，画出点M、N并连接MN，当t=2或4时，△BMN是直角三角形；
（2）如图②，连接AN、CM，相交于点P，当t=3时，△ABN≌△CBM；
（3）图②中，点M，N在运动的过程中，∠CPN的度数会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
分析 （1）分两种情况：①如图1，当∠BNM=90°时，∠BMN=30°，则BM=2BN，②如图2，当∠BMN=90°时，∠BNM=30°，BN=2BM，分别列式可求得t的值；
（2）如图3，当BM=BN时，△ABN≌△CBM，则AM=BM，所以t=6-t，解出即可；
（3）如图4，∠CPN的度数不会发生变化，都等于60°，证明△CAM≌△ABN，再利用外角定理可以得出结论．
解答 
解：（1）由题意得：AM=BN=t，则BM=6-t
当△BMN是直角三角形时，有两种情况：
①如图1，当∠BNM=90°时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BMN=90°-60°=30°，
∴BM=2BN，
∴6-t=2t，
t=2；
②如图2，当∠BMN=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BNM=30°，
∴BN=2BM，
∴t=2（6-t），
t=4，
综上所述，当t=2或4时，△BMN是直角三角形；
故答案为：2或4；
（2）如图3，∵AB=BC，∠B=∠B，
∴当BM=BN时，△ABN≌△CBM，
∵AM=BN，
∴AM=BM，
∴t=6-t，
t=3，
∴当t=3时，△ABN≌△CBM，
故答案为：3；
（3）点M，N在运动的过程中，∠CPN的度数不会发生变化，都等于60°，理由是：
如图4，
在△CAM和△ABN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAB=∠ABC=60°}\\{AM=BN}\end{array}\right.$，
∴△CAM≌△ABN（SAS），
∴∠ACM=∠BAN，
∵∠BAN+∠CAN=∠CAB=60°，
∴∠ACM+∠CAN=60°，
∵∠CPN=∠ACM+∠CAN，
∴∠CPN=60°．
点评 本题考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定以及动点运动问题，难度适中，是中考常考题型；在动点问题中，如图速度相等，时间相等，则路程相等；同时在第1问中采用了分类讨论的思想，容易丢解，要注意．
如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，CD=2cm，DE⊥AB于E，则BD=（ ）| A． | 0 | B． | 2 | C． | -2 | D． | -3 |