Question

18．在已知线段AB的同侧构造∠FAB=∠GBA，并且在射线AF，BG上分别取点D和E，在线段AB上取点C，连结DC和EC．

（1）如图，若AD=3，BE=1，△ADC≌△BCE．在∠FAB=∠GBA=60°或∠FAB=∠GBA=90°两种情况中任选一种，解决以下问题：
①线段AB的长度是否发生变化，直接写出长度或变化范围；
②∠DCE的度数是否发生变化，直接写出度数或变化范围．
（2）若AD=a，BE=b，∠FAB=∠GBA=α，且△ADC和△BCE这两个三角形全等，请求出：
①线段AB的长度或取值范围，并说明理由；
②∠DCE的度数或取值范围，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）选第一个图：①由全等三角形的性质得出AC=BE=1，BC=AD=3，得出AB=AC+BC=4；
 ②由全等三角形的性质得出∠ADC=∠BCE，由三角形的外角性质得出∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，得出∠DCE=∠A=60°即可；
若选第二个图时，方法同第一个图的解法；
（2）当a≠b时，①由全等三角形的性质得出AC=BE=b，BC=AD=a，得出AB=AC+BC=a+b即可；
②由全等三角形的性质得出∠ADC=∠BCE，由三角形的外角性质得出∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，得出∠DCE=∠A=α即可；
当a=b时，①AB＞0，由全等三角形的性质得出AC=BE=b，BC=AD=a，得出AB=AC+BC=a+b＞0即可；
②由全等三角形的性质得出∠ADC=∠BCE，由三角形的外角性质得出∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，得出∠DCE=∠A=α，即可得出0°＜∠DCE＜180°．

解答 解：（1）选第一个图：
①线段AB的长度不发生变化，AB=4；理由如下：
∵AD=3，BE=1，△ADC≌△BCE．
∴AC=BE=1，BC=AD=3，
∴AB=AC+BC=4；
 ②∠DCE的度数不发生变化，∠DCE=60°；理由如下：
∵△ADC≌△BCE，
∴∠ADC=∠BCE，
∵∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，
∴∠DCE=∠A=60°；
若选第二个图：
①线段AB的长度不发生变化，AB=4；理由如下：
∵AD=3，BE=1，△ADC≌△BCE．
∴AC=BE=1，BC=AD=3，
∴AB=AC+BC=4；
 ②∠DCE的度数不发生变化，∠DCE=90°；理由如下：
∵△ADC≌△BCE，
∴∠ADC=∠BCE，
∵∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，
∴∠DCE=∠A=90°；
（2）当a≠b时，①AB=a+b，理由如下：
∵AD=a，BE=b，△ADC≌△BCE．
∴AC=BE=b，BC=AD=a，
∴AB=AC+BC=a+b；
②∠DCE=α，理由如下：
∵△ADC≌△BCE，
∴∠ADC=∠BCE，
∵∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，
∴∠DCE=∠A=α；
当a=b时，①AB＞0，理由如下：
∵AD=a，BE=b，△ADC≌△BCE．
∴AC=BE=b，BC=AD=a，
∴AB=AC+BC=a+b＞0；
②0°＜∠DCE＜180°．理由如下：
∵△ADC≌△BCE，
∴∠ADC=∠BCE，
∵∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，
∴∠DCE=∠A=α，
∵0°＜α＜180°．
∴0°＜∠DCE＜180°．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握全等三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．