Question

12．在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（3，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

Answer 1

分析 过点E作E关于OB的对称点C，连接AC与OB相交，根据轴对称确定最短路线问题AC与OB的交点即为所求的点P，PA+PE的最小值为AC，过点C作CD⊥OA于D，求出CE，∠OEC=60°，再求出ED、CD，然后求出AD，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：如图，过点E作E关于OB的对称点C，连接AC与OB相交，
则AC与OB的交点即为所求的点P，PA+PE的最小值=AC，
过点C作CD⊥OA于D，
∵点C的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），且∠AOB=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$，CE=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∠OEC=90°-30°=60°，
∴ED=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵顶点A的坐标为（3，0），点E的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），∠OAB=90°，
∴AE=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴AD=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{11}{4}$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=$\sqrt{（\frac{11}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PE的最小值的线段是解题的关键．