已知:如图1.△ABC中∠ABC=45°.tan∠ACB=$\frac{3}{4}$.BC=5,(1)求AB.AC的长．(2)若点D是直线AC上的一个动点.当△CBD为等腰三角形时.求CD的长．(3)若点D是直线AC上的一个动点.在直线AB上是否存在点E.使OA∥DE.且以点E.D.O.A为顶点的四边形是平行四边形?如果存在.直接写出$\frac{BE}{CD}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知：如图1，△ABC中∠ABC=45°，tan∠ACB=$\frac{3}{4}$，BC=5；

（1）求AB、AC的长．
（2）若点D是直线AC上的一个动点，当△CBD为等腰三角形时，求CD的长．
（3）若点D是直线AC上的一个动点，在直线AB上是否存在点E，使OA∥DE、且以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出$\frac{BE}{CD}$的值；如果不存在，请说明理由．

分析（1）过点A作AG⊥BC于G，得到∠AGB=∠AGC=90°，在R_t△ABG中，由于∠ABG=∠BAG=45°，得到BG=AG，在R_t△ACG中，利用三角函数求得结果．
（2）①当CB=CD=5时，△CBD为等腰三角形；②当BD=DC时，过点D作DH⊥BC于H，得到CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，由∠ACB的正切值求得；③当BC=BD时，过点B作BM⊥CD于M，得到CM=$\frac{1}{2}$CD，由tan$∠ACB=\frac{BM}{CM}$=$\frac{3}{4}$，列方程求得结果；
（3）存在，以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，①当四边形AE₁OD₁为平行四边形时，$\frac{BE}{CD}$=$\frac{3\sqrt{2}}{20}$，②当四边形AD₂E₁O为平行四边形时，$\frac{BE}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，③当四边形AOD₁E₂为平行四边形时，$\frac{BE}{CD}$=$\frac{27\sqrt{2}}{20}$．

解答解：（1）过点A作AG⊥BC于G，
∴∠AGB=∠AGC=90°，
在R_t△ABG中，∵∠ABG=∠BAG=45°，
∴BG=AG，
在R_t△ACG中，
∵tan∠acb=$\frac{AG}{GC}$=$\frac{3}{4}$，
设AG=3x，则CG=4x，BG=3x，
由BC+=BG+CG=5得，
x=$\frac{5}{7}$，
∴BG=AG=$\frac{15}{7}$，CG=$\frac{20}{7}$，
∴AB=$\frac{15\sqrt{2}}{7}$，AC=$\frac{25}{7}$，
（2）①当CB=CD=5时，△CBD为等腰三角形，
②当BD=DC时，如图2，过点D作DH⊥BC于H，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
∵tan∠ACB=$\frac{DH}{CH}$=$\frac{3}{4}$，
∴DH=$\frac{15}{8}$，
∴CD=$\frac{25}{8}$；
③当BC=BD时，如图3
过点B作BM⊥CD于M，
∴CM=$\frac{1}{2}$CD，
∵tan$∠ACB=\frac{BM}{CM}$=$\frac{3}{4}$，
设BM=3t，CM=4t，则BC=5t=5，
∴t=1，
∴CM=4t=4，
∴CD=8；
（3）存在，（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，
①当四边形AE₁OD₁为平行四边形时，$\frac{BE}{CD}$=$\frac{3\sqrt{2}}{20}$，
②当四边形AD₂E₁O为平行四边形时，$\frac{BE}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
③当四边形AOD₁E₂为平行四边形时，$\frac{BE}{CD}$=$\frac{27\sqrt{2}}{20}$．