Question

5．将1、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{6}$按下列方式排列，若规定（m、n）表示第m排从左向右第n个数．
（1）表示（5，4）与（15，7）表示的两数之积是多少？
（2）表示（100，10）的数是多少？

Answer 1

分析 （1）根据1、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{6}$按顺序排列，可得每四个数一循环，根据第几排就有几个数，可得前n排数的个数为（1+2+3+…+n）=$\frac{（1+n）n}{2}$，根据前四排的总数加上第五排的四个数，可得第五排的第四个数，根据前十四排的总数加上第五排的7个数，可得第十五排的第七个数，根据实数的乘法，可得答案；
（2）根据前90排的总数加第100排的个数10，可得答案．

解答 解：（1）（5，4）表示$\sqrt{2}$，
第一排一个数，第二排两个数，第三排三个数，第n排n个数，
前n排数的个数为（1+2+3+…+n）=$\frac{（1+n）n}{2}$，
前十四排的数的个数加7：（1+2+3+4+…+13+14）+7=$\frac{（1+14）×14}{2}$+7=112，
第112个数是112÷4=38，即（15，7）表示$\sqrt{6}$，
表示（5，4）与（15，7）表示的两数之积$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$；
（2）前99排的数加10：（1+2+3+4++…89+99）+10=$\frac{（1+99）×99}{2}$+10=4960，
4960÷4=1240，即1240轮的最后一个数1，
即（100，10）表示的数是$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了算术平方根，利用排列顺序得出每四个数一循环，第几排有几个数是解题关键．