Question

10．如图，已知∠A的平分线分别与边BC、△ABC的外接圆交于点D、M，过D任作一条与直线BC不重合的直线l，直线l分别与直线MB、MC交于点P、Q，下列判断错误的是（　　）

• A． 无论直线l的位置如何，总有直线PM与△ABD的外接圆相切
• B． 无论直线l的位置如何，总有∠PAQ＞∠BAC
• C． 直线l选取适当的位置，可使A、P、M、Q四点共圆
• D． 直线l选取适当的位置，可使S_△APQ＜S_△ABC

Answer 1

分析 本题要求选出错误的命题，只需找到一个命题，说明该命题是假命题即可．可采用反证法判断C是错误的，运用相交弦定理可得DA•DM=DP•DQ，DA•DM=DB•DC，可得DP•DQ=DB•DC，即$\frac{DP}{DB}$=$\frac{DC}{DQ}$，从而可得△DBP∽△DQC，则有∠BPD=∠QCD．由AM平分∠BAC可得∠BAM=∠MAC，根据圆周角定理可得∠MBC=∠MAC，∠MCB=∠BAM，即可得到∠MBC=∠MCB，从而有∠BPD=∠MBC，与三角形外角的性质∠MBC=∠BPD+∠BDP矛盾，故假设不成立，即选择C错误．

解答 解：假设A、P、M、Q四点共圆，根据相交弦定理可得：DA•DM=DP•DQ，
∵A、B、M、C四点共圆，
∴根据相交弦定理可得：DA•DM=DB•DC，
∴DP•DQ=DB•DC，即$\frac{DP}{DB}$=$\frac{DC}{DQ}$，
∵∠BDP=∠QDC，∴△DBP∽△DQC，
∴∠BPD=∠QCD，
∵AM平分∠BAC，∴∠BAM=∠MAC，
∵∠MBC=∠MAC，∠MCB=∠BAM，
∴∠MBC=∠MCB，
∴∠BPD=∠MBC．
与∠MBC=∠BPD+∠BDP矛盾，
故假设不成立，
因而命题C错误，
故选：C．

点评 本题主要考查了相交弦定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识，运用反证法是解决本题的关键．