Question

7．【阅读理解】
我们知道，1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，那么1²+2²+3²+…+n²结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即1²，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即2²，…；第n行n个圆圈中数的和为$\underset{\underbrace{n+n+…+n}}{n个n}$，即n²，这样，该三角形数阵中共有$\frac{n（n+1）}{2}$个圆圈，所有圆圈中数的和为1²+2²+3²+…+n²．

【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（1²+2²+3²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{2}$，因此，1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．
【解决问题】
根据以上发现，计算：$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+201{7}^{2}}{1+2+3+…+2017}$的结果为1345．

Answer 1

分析 【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的$\frac{1}{3}$，从而得出答案；
【解决问题】运用以上结论，将原式变形为$\frac{\frac{1}{6}×2017×（2017+1）×（2×2017+1）}{\frac{1}{2}×2017×（2017+1）}$，化简计算即可得．

解答 解：【规律探究】
由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1，
由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：
3（1²+2²+3²+…+n²）=（2n+1）×（1+2+3+…+n）=（2n+1）×$\frac{n（n+1）}{2}$，
因此，1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（2n+1）（n+1）}{6}$；
故答案为：2n+1，$\frac{n（n+1）（2n+1）}{2}$，$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$；

【解决问题】
原式=$\frac{\frac{1}{6}×2017×（2017+1）×（2×2017+1）}{\frac{1}{2}×2017×（2017+1）}$=$\frac{1}{3}$×（2017×2+1）=1345，
故答案为：1345．

点评 本题主要考查数字的变化类，阅读材料、理解数列求和的具体方法得出规律，并运用规律解决实际问题是解题的关键．