Question

从△ABC的顶点A引三条线段：∠A的平分线AM，∠A的外角平分线AN，三角形外接圆的切线AK，点M、K、N依次排列在直线BC上，证明：MK=KN．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：根据切线的性质得出∠CAK=∠B，由∠BAM=∠CAM，根据三角形外角的性质即可求得∠KAM=∠KMA，从而求得MK=AK，根据已知得出∠MAN=90°，从而得出∠KMA+∠N=90°，进而得出∠KAN=∠N，得出KN=AK，即可证得结论；

解答：解：∵AK是切线，
∴∠CAK=∠B，
∵AM是∠A的平分线，
∴∠BAM=∠CAM，
∴∠CAK+∠CAM=∠B+∠BAM，
即∠KAM=∠KMA，
∴MK=AK，
∵AM是∠A的平分线，AN是∠A的外角平分线，
∴∠MAN=90°，
∴∠KMA+∠N=90°，
∵∠KAM+∠KAN=∠MAN=90°，
∴∠KAN=∠N，
∴KN=AK，
∴MK=KN．

点评：本题考查了切线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．