Question

11．在探究“抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），过点A且与x轴成45°角的直线，与抛物线交于点C”的图形性质时，小慧在得出“在第一象限存在一点C₁，第四象限存在一点C₂满足条件”这一正确结论后，还由此得出下列结论：①C₁的横坐标为4，C₂的纵坐标为-3；②sin∠AC₁C₂=$\frac{{3\sqrt{34}}}{34}$；③过点C₁、C₂作x轴的垂线，垂足分别为D₁、D₂，则△C₁D₁B∽△C₂D₂B，则其中正确的为（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用方程组求出C₁，C₂的坐标，即可一一判断．

解答 解：由题意A（-1，0），B（3，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∵A（-1，0），
∴C₁（4，5），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴C₂（2，-3），故①正确，
∴AC₂=3$\sqrt{2}$，C₁C₂=2$\sqrt{17}$，
∴sin∠AC₁C₂=$\frac{A{C}_{2}}{{C}_{1}{C}_{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{17}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$，故②正确，
∵$\frac{{C}_{1}{D}_{1}}{B{D}_{1}}$≠$\frac{{C}_{2}{D}_{2}}{B{D}_{2}}$，故③错误，
故选A．

点评 本题考查相似三角形的判定、抛物线与x轴的交点、解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．