Question

19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-2）²+2经过点A（0，4），与其对称轴交于点B，P为抛物线y=a（x-2）²+2上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，交抛物线y=a（x-h）²+h于点Q，交抛物线y=a（x-2）²+2于点P′，以PQ、PP′为邻边作矩形PP′MQ，设点P的横坐标为m（m≤0）．
（1）求a的值；
（2）当抛物线y=a（x-h）²+h的顶点是原点时，设矩形PP′MQ与△OAB重叠部分图形的周长为l（l＞0）．
①当点B在边QM上时，求m的值；
②求l与m之间的函数关系式；
（3）当h为何值时，存在点P，使矩形PP′MQ是面积为16的正方形？直接写出h的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）①由题意抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²，设P（m，$\frac{1}{2}$m²-2m+4），则Q（m，$\frac{1}{2}$m²），由点B（2，2）在边QM上，可得$\frac{1}{2}$m²=2，解方程即可．
②分两种情形讨论，如图1中，当-2$\sqrt{2}$≤m≤-2时，重叠部分是△AEF．如图2中，当-2＜m≤0时，重叠部分是四边形AEFB，
（3）当点P与A重合时，易知AP′=4，OA=4，此时四边形PP′MQ是面积为16的正方形，点Q与O重合，Q（0，0），把Q（0，0）代入y=$\frac{1}{2}$（x-h）²+h，即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x-2）²+2经过点A（0，4），0
∴4=4a+2，
∴a=$\frac{1}{2}$．

（2）①由题意抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²，设P（m，$\frac{1}{2}$m²-2m+4），则Q（m，$\frac{1}{2}$m²），
∵点B（2，2）在边QM上，
∴$\frac{1}{2}$m²=2，
∴m=-2或2（舍弃），
②如图1中，当-2$\sqrt{2}$≤m≤-2时，重叠部分是△AEF．

l=2（4-$\frac{1}{2}$m²）+$\sqrt{2}$（4-$\frac{1}{2}$m²）=-（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）m²+8+4$\sqrt{2}$，
如图2中，当-2＜m≤0时，重叠部分是四边形AEFB，


l=△ABC的周长-△OEF的周长=4+4$\sqrt{2}$-（2×$\frac{1}{2}$m²+$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$m²）=-（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）m²+4+4$\sqrt{2}$，
综上所述，l=$\left\{\begin{array}{l}{-（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）{m}^{2}+8+4\sqrt{2}}&{（-2\sqrt{2}≤m≤-2）}\\{-（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）{m}^{2}+4+4\sqrt{2}}&{（-2＜m≤0）}\end{array}\right.$．

（3）如图3中，

当点P与A重合时，易知AP′=4，∵A（0，4），
∴OA=4，此时四边形PP′MQ是面积为16的正方形，
∴点Q与O重合，Q（0，0），
把Q（0，0）代入y=$\frac{1}{2}$（x-h）²+h，得到h=0．

点评 本题考查二次函数综合题、矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、多边形的周长等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．