Question

14．如图，矩形ABCD中，AB=$\frac{1}{n}$AD（n为大于1的整数），作对角线BD的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，EF与BD的交点为O，连接BE和DF．
（1）试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）当AB=a（a为常数），n=2时，求EF的长；
（3）记四边形BEDF的面积为S₁，矩形ABCD的面积为S₂，当$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{13}{25}$时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠EDO=∠FBO，由ASA证明△DEO≌△BFO，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF，即可推出菱形BEDF；
（2）由勾股定理求出BD，设BE=DE=x，则AE=2a-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出OE，即可得出EF的长；
（3）设AB=a，则AD=na，同（2）得：设BE=DE=x，则AE=na-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE，再由已知条件得出方程，解方程即可求出n的值．

解答 解：（1）四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠EDO=∠FBO，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BO=DO，EF⊥BD，
在△DEO和△BFO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDO=∠FBO}&{\;}\\{BO=DO}&{\;}\\{∠EOD=∠FOB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形．
（2）∵AB=a（a为常数），n=2，AB=$\frac{1}{n}$AD，
∴AD=2a，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
由（1）得：四边形BEDF是菱形，
∴BE=DE，OE=OF，
设BE=DE=x，则AE=2a-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，
即a²+（2a-x）²=x²，
解得：x=$\frac{5}{4}$a，
∴DE=$\frac{5}{4}$a，
在Rt△ODE中，OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
由勾股定理得：OE=$\sqrt{D{E}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{4}a）^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$a，
∴EF=2OE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a；
（3）设AB=a，则AD=na，
同（2）得：设BE=DE=x，则AE=na-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，
即a²+（na-x）²=x²，
解得：x=$\frac{1+{n}^{2}}{2n}$a，
∴DE=$\frac{1+{n}^{2}}{2n}$a，
∵矩形ABCD的面积S₂=AD•AB，
菱形BEDF的面积S₁=DE•AB，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{13}{25}$，
∴$\frac{\frac{1+{n}^{2}}{2n}a}{na}$=$\frac{13}{25}$，
解得：n=5．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．