Question

17．甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：
（1）他们在进行5000米的长跑训练，在0＜x＜15的时间内，速度较快的人是甲（填“甲”或“乙”）；
（2）求乙距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系式；
（3）当x=15时，两人相距多少米？
（4）在15＜x＜20的时间段内，求两人速度之差．

Answer 1

分析 （1）先根据图象信息可知，他们在进行5000米的长跑训练，再根据直线倾斜程度即可知甲的速度较快；
（2）设乙距终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y=kx+b，分两种情况进行讨论：①0＜x＜15；②15≤x≤20，根据图象上点的坐标利用待定系数法分别求出即可；
（3）由甲运动员的图象经过（0，5000），（20，0），先运用待定系数法求出甲距终点的路程y（米）和跑步时间 x（分）之间的函数关系式，再将x=15代入，得出甲距终点的路程y，又由图象可知此时乙距终点的路程，两者相减即可；
（4）先分别求出在15＜x＜20的时间段内，两人的速度，再将它们相减即可．

解答 解：（1）根据图象信息可知，他们在进行5000米的长跑训练，
在0＜x＜15的时间段内，直线y_甲的倾斜程度大于直线y_乙的倾斜程度，所以甲的速度较快．
故答案为5000，甲；

（2）设乙距终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y=kx+b．
①如果0＜x＜15，
将（0，5000），（15，2000）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{b=5000}\\{15k+b=2000}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-200}\\{b=5000}\end{array}\right.$，
所以y=-200x+5000；
②如果15≤x≤20，
将（15，2000），（20，0）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{15k+b=2000}\\{20k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-400}\\{b=8000}\end{array}\right.$，
所以y=-400x+8000；
综上所述，乙距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系式为：$y=\left\{{\begin{array}{l}{-200x+5000（0＜x＜15）}\\{-400x+8000（15≤x≤20）}\end{array}}\right.$；

（3）设甲距终点的路程y（米）和跑步时间 x（分）之间的函数关系式为：y=mx+n，
∵直线y=mx+n经过点（0，5000），（20，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=5000}\\{20m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-250}\\{n=5000}\end{array}\right.$，
∴y=-250x+5000，
∴当x=15时，甲距终点的路程y=-250×15+5000=1250，
∵由图象可知此时乙距终点的路程为2000，
∴2000-1250=750．
即当x=15时，两人相距750米；

（4）∵当15＜x＜20时，甲的速度为5000÷20=250，乙的速度为2000÷5=400，
又∵400-250=150，
∴在15＜x＜20的时间段内，两人速度之差为150米/分．

点评 此题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解决本题的关键．