Question

5．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB=4km．从A测得灯塔C在北偏东60°的方向，从B测得灯塔C在北偏西27°的方向，求灯塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．
（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 如图，过点C作CD⊥AB，构建直角△ACD和直角△BCD．通过解Rt△BDC得到BD=0.5CD．通过解Rt△ADC得到AD=$\sqrt{3}$CD，所以由AB=4km科研求得CD的长度．最后通过解Rt△ADC来求AC的长度．

解答 解：如图，过点C作CD⊥AB，则∠BCD=27°，∠ACD=60°，
在Rt△BDC中，由tan∠BCD=$\frac{BD}{CD}$，
∴BD=CD tan27°=0.5CD．
在Rt△ADC中，由tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$
∴AD=CD•tan60°=$\sqrt{3}$CD．
∵AD+BD=$\sqrt{3}$CD+0.5CD=4，
∴CD=$\frac{4}{\sqrt{3}+0.5}$．         
在Rt△ADC中，∵∠ACD=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AC=2CD=$\frac{8}{\sqrt{3}+0.5}$≈3.6．
∴灯塔C与观测点A的距离为3.6km．

点评 此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．