Question

6．已知，如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于D、E，下面判断中：
①当△ABC为等边三角形时，△ODE是等边三角形；
②当△ODE是等边三角形，△ABC为等边三角形；
③当∠A=45°时，△ODE是直角三角形；
④当△ODE是直角三角形时，∠A=45°．
正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①由△ABC为等边三角形，可得∠B=∠C=60°．又由OB=OC=OD=OE，即可证得△OBD，△OEC均为等边三角形，继而证得△ODE是等边三角形；

解答 解：①∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OC=OD=OE，
∴△OBD，△OEC均为等边三角形．
∴∠BOD=∠COE=60°．
∴∠DOE=60°．
∵OD=OE，
∴△ODE为等边三角形，故①正确；
②当△ODE是等边三角形，∠A=60°，∠C≠60°，△ABC不是等边三角形，故②错误；
③连接CD，，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°=∠ADC．
∵∠A=45°，
∴∠ACD=45°，
∴∠DOE=2∠DCE=90°，
即△ODE是直角三角形，故③正确；
④∵BC是直径，
∴∠BDC=90°=∠ADC．
∵∠ECD=$\frac{1}{2}$∠DOE=45°，
∴∠A=90°-∠ACD=45°，故④正确；
故选：C．

点评 本题考查了圆周角定定理，①②利用了等边三角形的判定，③④利用了圆周角定理：同弦所对的圆周角是圆心角的一半，直角三角形的性质．