Question

13．抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）过A（4，4），B （2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是m≤3或m≥4．

Answer 1

分析 把A（4，4）代入抛物线y=ax²+bx+3得4a+b=$\frac{1}{4}$，根据对称轴x=-$\frac{b}{2a}$，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，所以0＜|2-（-$\frac{b}{2a}$）|≤1，解得a≥$\frac{1}{8}$或a≤-$\frac{1}{8}$，把B（2，m）代入y=ax²+bx+3得：4a+2b+3=m，得到a=$\frac{7}{8}$-$\frac{m}{4}$，所以$\frac{7}{8}$-$\frac{m}{4}$≥$\frac{1}{8}$或$\frac{7}{8}$-$\frac{m}{4}$≤-$\frac{7}{8}$，即可解答．

解答 解：把A（4，4）代入抛物线y=ax²+bx+3得：
16a+4b+3=4，
∴16a+4b=1，
∴4a+b=$\frac{1}{4}$，
∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，
∴0$＜|2-（-\frac{b}{2a}）|$≤1，
∴0＜$\frac{4a+b}{2a}$≤1，
∴|$\frac{1}{8a}$|≤1，
∴a≥$\frac{1}{8}$或a≤-$\frac{1}{8}$，
把B（2，m）代入y=ax²+bx+3得：
4a+2b+3=m
2（2a+b）+3=m
2（2a+$\frac{1}{4}$-4a）+3=m
∴a=$\frac{7}{8}$-$\frac{m}{4}$，
∴$\frac{7}{8}$-$\frac{m}{4}$≥$\frac{1}{8}$或$\frac{7}{8}$-$\frac{m}{4}$≤-$\frac{7}{8}$，
∴m≤3或m≥4．
故答案为：m≤3或m≥4．

点评 本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是根据点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，得到0＜|2-（-$\frac{b}{2a}$）|≤1．